Dinámica
Hasta este momento hemos descrito al movimiento de una partícula sin preguntarnos que lo causa. Este problema fue un tema central para la denominada Filosofía Natural que sostenía la necesaria influencia externa (una fuerza) para mantener un cuerpo en movimiento. Cuando esta fuerza se acababa creían que el cuerpo se detenía volviendo a lo que consideraban su estado natural. De esta suposición se desprendía que un cuerpo más pesado (mayor fuerza interior) debía caer más de prisa que un cuerpo liviano. Fue Galileo Galilei (1564 - 1642) el primero en darse cuenta de lo falso de esta hipótesis.
Desde lo alto de la Torre de Pisa dejó caer, desde la misma altura, dos esferas de igual tamaño pero de diferente peso, ambas cayeron el mismo tiempo. (Si no lo crees toma dos objetos de diferente peso y déjalos caer desde una misma altura)
Galileo estudió las causas del movimiento pero fue Newton (1641 – 1727) quién les dio forma y las compiló en tres principios a los que hoy llamamos principios de Newton.
Principios de Newton
Si para mantener un cuerpo en movimiento no hace falta una fuerza, entonces, ¿qué se necesita?. La respuesta es: nada.
Si mueves el pié sobre el piso vas a sentir como "algo" se opone a ese deslizamiento. Si el piso está encerado ese "algo" disminuye en intensidad, hasta podríamos imaginar una superficie tan encerada que esa resistencia desaparecería por completo. En esta situación, luego de impulsarnos, nada nos detendría, seguiríamos a velocidad constante y en línea recta.
Hagamos un pequeño experimento.
Si no aplicamos una fuerza exterior a un cuerpo este permanece quieto o moviéndose a velocidad constante y en línea recta. (M. R. U.)
Acabamos de enunciar el primer principio de Newton que se llama principio de inercia. Es a causa de este principio que al arrancar el colectivo sientes ese empujón hacia atrás.
Sigamos analizando el sistema papel - lápiz.
Vuelve a armar el dispositivo. Mueve el papel lentamente; esta vez el lápiz se mueve también. ¿A qué se debe este comportamiento?. Si tiras fuerte del papel el lápiz se queda en un mismo lugar, pero si tiras despacio el útil de escritura acompaña al desplazamiento.
La clave de lo que sucede está en la fuerza que realizamos para sacar al papel. Tomemos un libro y coloquémoslo sobre el papel y repitamos la experiencia. Si tiramos con fuerza del papel el libro no se mueve, si tiramos despacio se mueve con él. Si colocamos varios libros sucesivamente sobre el papel llegará el momento en que, tirando suavemente de él, no podamos mover el sistema. Existe una interacción entre la superficie de contacto del papel y la de los libros, existe una fuerza que se opone a este movimiento, esta fuerza se denomina fricción.
" Ya sea para arrancar, detener, acelerar o desacelerar una partícula siempre debe aplicar una fuerza exterior a él ".
La fuerza y la aceleración son dos magnitudes vectoriales directamente proporcionales, F ~ a. Matemáticamente se necesita una magnitud constante para establecer una igualdad, físicamente esa constante es la masa del cuerpo: F = m . a
Por supuesto que no siempre que apliquemos una fuerza podremos mover un cuerpo, si no trata de mover una pared . . .
Hagamos nuevamente un pequeño experimento.
Saluda a la persona que tengas al lado dándole la mano; el sistema mano – mano no se mueve en dirección derecha o izquierda, por que en él intervienen dos fuerzas, una de cada mano. Estas fuerzas tienen la misma dirección, la misma intensidad (módulo) pero sus sentidos son opuestos.
También vemos este par de fuerzas (del mismo módulo, igual dirección y sentidos opuestos) al aplaudir. Nuestras manos se mueven en sentidos opuestos, chocan. En el momento del choque, cada mano hace fuerza sobre la otra. La superficie de la piel "reacciona" a esa fuerza con otra de igual intensidad, igual dirección y sentido opuesto. A una de ellas se la denomina acción a la otra reacción.
Otro ejemplo, cuando estamos parados, a nuestro peso (acción) se opone la fuerza del piso que nos sostiene (reacción), de otro modo se rompería y caeríamos.
Resumiendo, siempre tenemos dos opciones: podemos o no aplicar una fuerza. Si no la aplicamos una fuerza exterior estamos frente al principio de inercia. Si la aplicamos una fuerza exterior, también tenemos dos posibilidades: el cuerpo puede moverse o quedarse quieto. Si se mueve, estamos frente al segundo principio de Newton, el principio de masa. En caso de que no se mueva estamos frente al tercer principio de Newton, el principio de acción y reacción.
Al resolver un problema lo primero que debemos fijarnos es que principio se cumple.
Peso y masa: El peso de un cuerpo no es otra cosa que la fuerza de atracción gravitacional ejercida por la Tierra; magnitud vectorial cuya dirección siempre es perpendicular al suelo y su sentido apunta hacia él. Si dejamos un cuerpo en el aire, el peso lo hará caer y la aceleración que experimenta es la gravedad, lo que implica que debemos aplicar el segundo principio de Newton para poder calcular su magnitud.
La fuerza ejercida es el peso ( P) que suplantará a F en la fórmula, mientras que la aceleración g hará lo correspondiente con a.
Entonces en vez de F = m . a tendremos P = m . g
La masa se mide en kilogramos y la fuerza también, pero aunque la unidad de cada magnitud se escuche parecido resultan muy diferentes una de otra, no debemos confundirlas.
Un kilo de masa (1 Kg.) pesa en nuestro planeta un kilo, pero en el espacio su peso se reduce a medida que se aleja de la superficie de la Tierra. El peso de un cuerpo depende de la distancia que se encuentre de este planeta, de su masa y la masa terrestre, como lo expresa Newton con su famosa ley de atracción gravitacional universal.
En esta ecuación m y m' representan a las masas de los cuerpos, d a la distancia en que se encuentran y F a la fuerza de atracción (el peso en nuestro caso).
Si nuestro planeta variara en su cantidad de masa nosotros variaríamos en nuestro peso, de igual manera al aumentar o disminuir nuestra masa corporal aumentamos o disminuimos de peso.
Para diferenciar el kilogramo masa del kilogramo fuerza se llegó a un acuerdo, se escribe Kg. cuando se habla de masa y Kgr. al referirnos al kilogramo fuerza.
¿Cuánto pesa 1 Kg.?
Utilicemos el principio de masa con el valor de la aceleración de la gravedad 10 m/seg2
P = m . g = 1 Kg. 10 m/seg2 = 10 Kg. m. seg.-2 N (Newton) (es como se llama a esta unidad de fuerza.)
El sistema de medición que utiliza al Newton como unidad de fuerza se denomina M.K.S. (metros, kilogramos, segundos)
De esa manera queda establecido que 1Kgr. = 10 N
Fuerza: Todos tenemos una noción intuitiva de fuerza. Sabemos que para sostener un cuerpo debemos hacer un esfuerzo, al que llamamos "fuerza" y admitimos que esa fuerza tiene por objetivo equilibrar la que ejerce el cuerpo como consecuencia de su peso.
Ahora extiende tu brazo y presiona sobre la pared más cercana; hacer fuerza con el brazo extendido nos permite ver los elementos que encontramos dentro de las fuerzas (por supuesto que estos atributos son imaginarios). Con un color señalamos la recta a la que pertenece la fuerza que hacen los brazos de este hombre (La recta es la dirección de la fuerza que ejerce el hombre), la flecha indica el sentido (hacia donde hace la fuerza). En el lenguaje cotidiano dirección y sentido son sinónimos pero la física tiene sus propios códigos y aquí estos dos términos son muy distintos.
Entonces, ¿qué elementos encontramos en una fuerza?
"Dirección, sentido y módulo."
Casualmente hay un elemento matemático que tiene esos mismos elementos, es el " vector ".
Vemos la relación existente entre la matemática y la física.
Hablemos de las fuerzas colineales: llevan ese nombre las fuerzas que poseen igual dirección pero no necesariamente el mismo sentido.
Deja en la mesa la birome y con el dedo índice empújala desde un extremo, vas a ver que se mueve. Ahora si la empujas con el dedo índice de cada mano sobre el mismo extremo. Cada dedos hace fuerza con igual dirección y igual sentido, resultando, de ambos, una fuerza mayor que antes. De esa manera podemos indicar que: "las fuerzas de igual sentido se suman"
Coloca los dos dedos índices en cada extremo y haz fuerza. La fuerza resultante en este caso es menor que la hecha por cada dedo. Si comparemos la dirección de cada fuerza, siguen siendo la misma , pero sus sentidos son opuestos. De esa manera podemos indicar que: " las fuerzas de sentidos opuestos se restan "
Aquí necesitamos destacar un principio importantísimo en física "los signos indican sentidos" .
Así que si dos fuerzas van a la izquierda podríamos decir que son negativas y si van a la derecha, diremos que son positivas. (Atención, la elección positiva o negativa de los sentidos es arbitraria)
En nuestra vida cotidiana las fuerzas pueden ser colineales, paralelas o secantes (las que se cortan en un punto). Como son fuerzas, pueden ser representadas por vectores.
Hay varias formas de hallar la resultante, veamos la forma gráfica:
Método del Paralelogramo: ¿Qué características tiene un paralelogramo? Sus lados opuestos son paralelos y de igual longitud.
Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:
1.- Traza las rectas paralelas a cada fuerza, por sus extremos (con líneas punteadas)
2.- Une con una línea el punto de intersección de las paralelas y el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)
3.- Calcula el valor de la resultante.
Método Poligonal: Deriva del método anterior, pero es más fácil para trabajar con varias fuerzas.
Para hallar la resultante sigue los pasos siguientes:
1.- Traza la rectas paralelas a F 2 desde el extremo de F 1 (con líneas punteadas)
2.- Toma la medida de esa fuerza y desde su extremo (flecha del vector) traza la siguiente
3.- Uní con una línea el extremo de la última fuerza con el punto de origen de las fuerzas. (Esa es la resultante, no olvidar que es una fuerza por consiguiente un vector)
4.- Calcula el valor de la resultante.
Si hay más de dos fuerzas se traza una fuerza detrás de la otra (ojo con la dirección de cada una); cuando se dibujó la última fuerza se traza la resultante desde el punto de origen de las fuerzas hasta el extremo de la última fuerza.
Método Analítico: (sumatoria de fuerzas)
En este preciso instante existen fuerzas actuando sobre tu cuerpo y no te das cuenta. Si intentas saltar la fuerza de gravedad va obligar a volver al piso. No hay manera de escapar a su influencia, al menor en cualquier punto de la superficie de nuestro planeta. Toma una birome (cualquier objeto sirve), levántala con la mano. Si sueltas la birome caerá sobre la mesa (o alguna superficie horizontal). El peso es el responsable de su caída pero ¿por qué se detuvo? ¿qué la detuvo?. Al analizar los principios de dinámica vimos que lo único que puede acelerar o detener un cuerpo es una fuerza externa al sistema. Por lo que debemos suponer que la mesa "hizo fuerza" para detener la caída de la birome. ¡Los sólidos tienen la capacidad de "hacer fuerza"!.
Hagamos un simple experimento, para ello necesitamos tres monedas (pueden ser fichas). Pongamos un moneda sobre la mesa bajo nuestro dedo índice, asegurándonos que no se pueda mover. Coloquemos otra moneda a su lado de manera que estén en contacto. La tercera moneda úsala para golpear, de costado, a la que está sujeta a tu dedo. Su compañera saldrá disparada alejándose de tu índice. Si le pegas a la moneda que tienes en tu dedo, desde arriba, no sucede nada.
¿Por qué si pegas de costado la moneda se mueve y si pegas desde arriba no? ...
Si aplicamos una fuerza de costado (cuando la moneda choca la que tu sostienes), la moneda que está bajo tu dedo no se moverá debido a la acción de fuerza de rozamiento que hay entre la moneda; tu dedo y la superficie de la mesa (hay una fuerza de rozamiento en cada cara de la moneda) este fenómeno es explicado por el principio de acción y reacción. Pero la otra moneda, la que está libre puede moverse pues no hay fuerza que se oponga (el rozamiento entre la moneda y la superficie de la mesa no es suficiente).
Es importante destacar que por más fuerte que apretemos el dedo contra la moneda, ésta no se va a mover (principio de acción y reacción ); debe existir una fuerza de la misma dirección, mismo módulo
que la suma de la fuerza de tu dedo y el peso de la moneda, pero sentido contrario. Ésta fuerza siempre tendrá dirección perpendicular al suelo. Una recta perpendicular a otra se denomina "normal", es por eso que a esta fuerza se la denomina "fuerza normal".
Fuerza de rozamiento: La fuerza de rozamiento, también llamada fricción, surge de la relación entre la naturaleza de la superficie (del piso para poner un ejemplo) y la reacción de esa superficie al peso (ó a la proyección del peso si es un plano inclinado).
Debemos hacer una distinción entre la fuerza de rozamiento de un cuerpo estático y la fricción de un cuerpo en movimiento. La fuerza de rozamiento estática (cuerpo quieto) es mayor que la que actúa sobre un cuerpo en movimiento. Se necesitan más personas para empujar un auto parado que para llevarlo una vez que arrancó.
Matemáticamente la fuerza de rozamiento y la reacción del piso son directamente proporcionales, para establecer una igualdad se necesita una constante, el valor constante de la proporción está determinado por el coeficiente de rozamiento (m). Por supuesto que el coeficiente estático (me) es mayor, numéricamente, que el coeficiente dinámico (md). me > md .
F r = m . N
(Se denomina normal (N) a la reacción del piso a todas las fuerzas que actúan sobre esa superficie)
Cantidad de Movimiento: Al aplicarse una fuerza es evidente que la velocidad de un cuerpo cambia, cambia "la cantidad de movimiento" de ese cuerpo, y la cantidad de movimiento puede medirse físicamente.
Tenemos un cuerpo que tiene una masa m, (valor escalar) el que adquiere una velocidad determinada al aplicársele una fuerza exterior. La masa y la velocidad resultan ser inversamente proporcionales ya que, a igual magnitud de fuerza, si la masa aumenta al doble su velocidad se reducirá a la mitad. Expresado de una manera más sencilla, si empujamos al mouse adquirirá mayor velocidad que si empujamos, con la misma cantidad de fuerza, a la CPU.
Al ser inversamente proporcionales, la masa y la velocidad se multiplican para obtener un valor constante. La velocidad es un vector mientras que la masa una magnitud escalar, matemáticamente al multiplicar un vector por un escalar obtendremos otro vector. Físicamente ese vector producto entre la masa y la velocidad se denomina cantidad de movimiento y se lo designa con la letra p:
La segunda ley de Newton fue expresada basándose en la variación de la cantidad de movimiento en función del tiempo, es decir que si se aplica una fuerza exterior a un cuerpo este experimentará una variación de cantidad de movimiento a medida que transcurre el tiempo.
F = p / t (como p = m . v) F = (m . v) / t (m es una constante, por lo tanto sólo la velocidad puede variar)
F = m . v / t (recordando que a = v / t ) tenemos que: F = m . a
La variación de la cantidad de movimiento se conoce con el nombre de ímpetu, que se designa con la letra I.
"I = p"
De esa manera tenemos que F = I / t (despejando) I = F . t.
Colisión (Choque): Imaginemos a dos machos cabríos con sus imponentes cornamentas, enfrentados en un combate por un territorio repleto de hembras. Los dos magníficos animales se levantan sobre sus patas traseras "impulsándose" para descender a topetazos sobre su oponente. Este violento encuentro ilustra perfectamente la situación de una colisión donde actúan fuerzas externas relativamente grandes durante un tiempo estimativamente corto.
Como podemos determinar la posición de cada animal durante todo el proceso, podemos tratarlos físicamente como si fueran partículas.
Si bien la idea básica de una colisión es que, en movimiento o quietas, dos o más partículas (o por lo menos una de ellas) cambian bruscamente su dirección, lo que es muy evidente es el cambio de velocidad que experimentan las partículas involucradas antes y después del choque..
Durante la colisión la fuerza varía de una manera tan compleja que resulta muy complicada medirla. Estas fuerzas, denominadas impulsivas, actúan durante un brevísimo instante.
Lo que hay que estacar es que la cantidad de movimiento se mantiene constante.
La cantidad de movimiento, como se ha visto, es el producto entre la masa y la velocidad. Así que tendremos la cantidad de movimiento de cada partícula antes y después del choque, la cantidad total de movimiento (la suma de las cantidades de movimientos de ambos cuerpos) serán iguales antes y después de chocar.
Si ambas partículas quedaran "adheridas" en un solo cuerpo en movimiento, el choque se denominará plástico. Pero si rebotaran separándose, el choque se designará con el nombre de elástico.
Choque plástico: ma .va + mb vb = v (ma + mb)
Choque elástico: ma .va + mb vb = ma .v’a + mb v’b
Ejercicio Explicado:
Una bala de 0,05 kg. masa se desplaza con una velocidad de 350 m/seg. cuando impacta sobre un bloque de madera, de 0,36 Kg. de masa, incrustándose en él. a) Hallar la velocidad con que se mueve el sistema luego del choque.
Solución: Al impactar la bala queda incrustada dentro del bloque de madera, por lo cual podemos suponer después del impacto ambos cuerpos se desplazan juntos. Estamos frente a un choque plástico, en el cual, antes del choque, la bala se encuentra moviéndose mientras que el bloque está quieto (velocidad inicial cero).
Datos: v bala = 350 m/seg m bala = 0,05 kg, v madera = 0 m/seg. m madera = 0,36 Kg.
Incógnita: v = ? (velocidad bala – madera).
Apliquemos la ecuación del choque plástico y reemplacemos por sus respectivos valores.
m bala .v bala + m madera v madera = v (m bala + m madera)
350 m/seg . 0,05 Kg + 0 = v (0,41 Kg)
v = 42,683 m/seg.
Plano Inclinado: Los movimientos rectilíneos en la vida real no se producen sobre superficies planas; aunque el piso así lo parezca no lo es pues pertenece a una superficie curva. Lo que sucede es que esta porción es tan pequeña comparada con la de nuestro planeta que la vemos plana.
Reduzcamos el problema analizando los movimientos sobre curvas y rectas en vez de superficies.
Pequeños segmentos consecutivos (con distinta dirección), todos juntos, darán la impresión de formar una curva. A la inversa, si tenemos una pequeña porción de una curva la veremos recta, la dirección de esta coincidirá con la recta tangente en ese punto.
Si necesitamos analizar un movimiento sobre una superficie inclinada (como la de una colina) podemos simplificar la dificultad de nuestro trabajo considerando toda la superficie como plana, y tomar una sección transversal, de esa manera estudiamos lo que sucede como si fuera un movimiento rectilíneo. Para ello utilizamos el plano inclinado que no es otra cosa que un triángulo rectángulo, donde por el lado más largo (la hipotenusa) se desplaza el cuerpo.
Diagrama de Cuerpo libre : Al estudiar los distintos tipos de movimientos hacíamos coincidir al eje x con el suelo en movimientos horizontales, mientras que para los verticales tomábamos la línea perpendicular al piso, el eje y.
Como ya se había explicado, el peso es la fuerza gravitacional con que nos atrae la tierra hacia su centro. Esa dirección es perpendicular a la recta tangente de su superficie en cualquier punto, es por eso que el peso se dibuja como un vector perpendicular al piso.
Como la recta perpendicular al suelo tiene la misma dirección que el eje y, podemos superponer al vector peso con este eje de manera que P se ubique sobre el eje y. Por supuesto que la reacción de esta superficie al peso, la fuerza normal, también la encontramos sobre el eje y. Análogamente, cualquier fuerza que desplace (acelerando o frenando) horizontalmente al cuerpo puede ubicarse sobre el eje x.
Todas las fuerzas que actúen sobre un cuerpo pueden representarse sobre un eje de coordenadas. Se denomina diagrama de cuerpo libre al eje de coordenadas donde están "dibujadas" todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (sin ser necesario dibujar al cuerpo).
Si tenemos más de un cuerpo en un sistema, tendremos que hacer un diagrama de cuerpo libre para cada uno.
Supongamos que la fuerza aplicada sobre el cuerpo no tuviera la misma dirección del eje x o del eje y. Tenemos una fuerza "F" que se encuentra formando un ángulo a con el suelo; como el eje x es paralelo al piso, F y el eje x también forman un ángulo cuya amplitud es a.
Hagamos el diagrama de cuerpo libre:
Tracemos rectas paralelas a los ejes que pasen por el ápice (extremo) de F, de esa forma tendremos los componentes de la fuerza F sobre los ejes de coordenadas, Fx y Fy.
Entre los tres vectores (F, Fx y Fy) queda formado un triángulo rectángulo donde F es la hipotenusa, Fx es el cateto adyacente respecto de a y Fy es el cateto opuesto, por lo tanto utilizando las funciones trigonométricas tenemos:
De esa manera podemos analizar la acción de una o más fuerzas sobre un cuerpo y ubicarlas en un diagrama de cuerpo libre para estudiar sus efectos.
Cuerpos Vinculados: En un problema cualquiera se debe hacer el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos involucrados indicando las fuerzas que actúan en cada uno de ellos. Pongamos un ejemplo para que podamos entender que es lo que ocurre.
Acá tenemos dos cuerpos de distintas masas. Sólo con ver el sistema sabemos que: m1 es el menor; sobre m2 actúa una fuerza.
Como existe una cuerda que los une tendremos fuerzas a las que denominaremos tensiones. Por supuesto que cada uno tiene su peso y éste está equilibrado por una normal. Dibujemos el sistema con todas las fuerzas que actúan en él.
Por el principio de masa tenemos que P = m . g (ver principio de masa). La reacción al peso de la superficie donde se mueve el sistema es la normal de cada uno de los cuerpos. Aunque está de más decirlo, ambas normales tienen módulos diferentes pues dependen del valor del peso de cada cuerpo.
Sobre el cuerpo m2 actúa una fuerza y la cuerda ejerce otra fuerza sobre el cuerpo m1 a la que llamaremos tensión. El "tirón" de la cuerda provoca una reacción sobre m2 que posee la misma dirección, el mismo módulo pero sentido contrario que la tensión, por lo tanto se anulan entre sí. Como la reacción a esta tensión tiene sentido contrario su signo es negativo (signos indican sentidos).
Hagamos el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo:
Analicemos las acciones de las fuerzas sobre cada eje:
Eje x: T = m1 . a * Eje x: F – T = m2 . a *
Eje y: N1 – P1 = 0 ^ Eje y: N2 – P2 = 0 ^
* Como sobre el eje x pueden moverse aplicamos el principio de masa (siempre y cuando no se muevan a velocidad constante)
^ Como sobre el eje y no pueden moverse la sumatoria de las fuerzas es cero.
Tomemos las ecuaciones de los ejes que pueden desplazarse con libertad (eje x en este caso) y sumémoslos miembro a miembro:
(se despeja lo que se deba despejar)
Ahora que ya has terminado con la parte teórica puedes hacer ejercicios del tema:
Ejercicios Explicados de Dinámica:
Una persona está parada sobre una balanza ubicada sobre el piso de un ascensor que se mueve hacia arriba con velocidad constante; en esas condiciones la balanza indica 80 kilos. ¿Cuál será la indicación de la balanza (en kilogramos) cuando el ascensor comienza a frenar, para detenerse, con una aceleración de
2 m/seg2?
Solución: Consideramos que el peso de la persona es 80 kilogramos ya que al moverse con velocidad constante la sumatoria de fuerzas sobre el sistema hombre – ascensor es nula; de esa forma es lícito pensar que el peso (que es lo que marca la balanza) es contrarrestado por la reacción del piso (tercer principio de dinámica).
En el momento en que empieza a frenar el sistema, el cuerpo tiende a seguir en movimiento ya que frena el ascensor pero no la persona (principio de inercia). La fuerza supuesta "impulsora" del hombre está determinada por su masa y la aceleración de frenado. Este fenómeno se percibe en la balanza "pareciendo" que la persona "pesa" menos, siendo el valor que aparece en el aparato la "resta" entre ambas fuerzas.
F balanza = P – Fac. Fb = P – m ac Fb = P – P/g ac
F b = 80 Kgf – 16 Kgf = 64 Kgf.
P = m . g ------- m = P/g
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